Teorema del Factor:
El teorema
del factor dice que, si f(a) = 0 en la que f(x) representa un polinomio de x,
entonces (x - a) es uno de los factores de f(x).
Por ejemplo,
tenemos que f(x) = 2x2 - 8. Ya que f(2) = 2(2) 2 - 8 = 0,
(x - 2) debe ser uno de sus factores. En realidad, f(x) = 2x2 - 8 =
2(x + 2)(x - 2).
Teorema del Residuo:
Si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x-a),
donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). EJEMPLO:
Divisón Sintética:
La división sintética se realiza para simplificar la
división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una
manera mas compacta y sencilla de realizar la división.
Ilustraremos como el proceso de creación de la
división sintética con un ejemplo:
Comenzamos dividiéndolo normalmente
Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos
términos durante el procedimiento, los términos restados
2x^4, -2x^3 pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar
los términos .
Al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:
Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en
las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar
el escribir las potencias de x, así:
Como para este tipo de división solo se realiza con
para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha
siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo
negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números
hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:
Si ahora insertamos a la primera posición del
último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros
números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último
número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.
Esta última forma se llama división sintética, pero
¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a
cavo la división sintética:
1.
Se ordenan los coeficientes de los términos en un
orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando
con coeficientes cero donde haga falta
2.
Después escribimos “c” en la parte derecha del
renglón
3.
Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer
renglón.
4.
Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener
el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda
nunca se escribe nada).
5.
Simplificamos de manera vertical para obtener el
segundo número de el tercer renglón.
6.
Con este último número repetimos los pasos cuatro y
cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.
EJEMPLOS:
Donde -108 es el residuo
Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos
coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes
nesesarios para todos los exponentes. Para generalizar hace falta notar que el signo que
tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este
método puede ser positivo o negativo.
Teorema Fundamental del Álgebra:
El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente: Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene
exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir
contadas con su orden de multiplicidad.
Por
ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo):
tiene 2 como raíz doble, y -2
como raíz simple, lo que da en total tres raíces.
En
otras palabras, todo polinomio:
Los números complejos fueron
inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de
.
Lo extraordinario del teorema
es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera
factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i y 1 (es decir con los
) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad
significa que el cuerpo de los complejos es
algebraicamente cerrado: no se
puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica
por excelencia.
Se
tardaron dos siglos para completar la prueba
de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor
fueron d'Alembert y Gauss, este último
encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema
de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy
en día la prueba más elegante está basada en la inducccion , y su primer paso es demostrar que un polinomio no
constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz,
gracias al teorema de Liouville
aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo.
Luego se factoriza la función P(x) por x-r
donde r es la raíz que
acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente
Teorema de Factorizacion Lineal
Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n
factoreslineales, es decir:
f(x) = a(x – c
1)(x – c
2)….(x – c
n),
en donde c
1, c
2,…..cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x)
Graficas de Funciones Polinomiales Factorizables
Los ceros reales representan los puntos de interseccion de un polinomio con el eje x, a partir de ahi es posible establecer la curva de un polinomio. Una valor anterior al cero real mas perqueño, sustituyendolo en la funcion nos permite conocer si la curva es creciente o dereciente, dependiendo si la pendiente de la curva es positiva o negativa, respectivamente.
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