APLICAS FUNCIOES RACIONALES

¿Qué es una Funcion Racional?

Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio distinto de cero. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea igual a cero. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces reales.
Cálculo de dominios. Máximos y mínimos.

El dominio de definicion de una funcion racional es el conjunto de todos los numeros reales, excepto aquellos que anulan su denominador.

Para la costruccion del dominio de una funcion racional se consideran, en primera instancia, todos los numeros reales. De ellos se suprimen los valores que vuelven cero al denominador.

Ejemplo:

En la funcion f(x)= x^2+6x+5  , para conocer el valor de x que hace cero al denominador
                                         x-4                   

 resolvemos x-4=0 encontrando x=4. Por lo tanto, el dominio es {xER/x=4}, es decir todo R excepto x=4 ó Dom f(x)=R-{4}, siendo la funcion discontinua.

 

 

 

 

Ejercicio: ¿Que valor de x anula al denominador?

1.- f(x)= 2x^2-5x+6 

                  x^2+5

 

 

 

2.- 4 x    -3

       x^2-4

 

 Asintotas Horizontales

Asintota:

Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Asíntotas Horizontales:

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Grado del numerador menor al grado del denominador.

 

2.- Grado del numerador igual al grado del denominador.

 

3.- Funciones no racionales con asintotas horizontales.

Asíntotas Verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.

NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.