UTILIZAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS

Comenzaremos observando las siguientes funciones: f(x) = x² y g(x) = 2^x. Las funciones f y g no son iguales. La función f(x) = x² es una función que tiene una variable elevada a un exponente constante. Es una función cuadrática que fue estudiada anteriormente. La función g(x) = 2^x es una función con una base constante elevada a una variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.

Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma f(x) = b^x , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente de uno.

El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el conjunto de todos los números reales positivos.

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

 

 

Propiedades de f(x) = b^x, b>0, b diferente de uno:

1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).

2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.

3) El eje de x es la asíntota horizontal.

4) Si b > 1 (b, base), entonces b^x aumenta conforme aumenta x.

5) Si 0 < b < 1, entonces b^x disminuye conforme aumenta x.

6) La función f es una función uno a uno.

Propiedades de las funciones exponenciales: Para a y b positivos, donde a y b son diferentes de uno y x, y reales:

1) Leyes de los exponentes:

2) a^x = a^y si y sólo si x = y

3) Para x diferente de cero, entonces a^x = b^x si y sólo si a = b.

Ejemplo para discusión: Usa las propiedades para hallar el valor de x en las siguientes ecuaciones:

1) 2^x = 8

2) 10^x = 100

3) 4 ^{x - 3} = 8

4) 5 ^{2 - x} = 125

 

APLICAS FUNCIOES RACIONALES

¿Qué es una Funcion Racional?

Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio distinto de cero. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea igual a cero. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces reales.
Cálculo de dominios. Máximos y mínimos.

El dominio de definicion de una funcion racional es el conjunto de todos los numeros reales, excepto aquellos que anulan su denominador.

Para la costruccion del dominio de una funcion racional se consideran, en primera instancia, todos los numeros reales. De ellos se suprimen los valores que vuelven cero al denominador.

Ejemplo:

En la funcion f(x)= x^2+6x+5  , para conocer el valor de x que hace cero al denominador
                                         x-4                   

 resolvemos x-4=0 encontrando x=4. Por lo tanto, el dominio es {xER/x=4}, es decir todo R excepto x=4 ó Dom f(x)=R-{4}, siendo la funcion discontinua.

 

 

 

 

Ejercicio: ¿Que valor de x anula al denominador?

1.- f(x)= 2x^2-5x+6 

                  x^2+5

 

 

 

2.- 4 x    -3

       x^2-4

 

 Asintotas Horizontales

Asintota:

Se llama asíntota de una función f(x) a una recta t cuya distancia a la curva tiende a cero, cuando x tiende a infinito o bien x tiende a un punto a.

Asíntotas Horizontales:

Las asíntotas horizontales se refieren a la tendencia de una función. Las tendencias se descubren calculando los límites de la función para valores muy grandes (infinitos) o para valores muy negativos (menos infinito).

Las asíntotas horizontales pueden ser bilaterales en un mismo valor, bilaterales con diferente valor, o unilaterales.

Hay funciones en las cuales las asíntotas horizontales no se tocan ni cruzan, hay otras en las cuales sí se puede cruzar la asíntota horizontal. En este espacio, veremos los dos casos. No hay que confundir, que las asíntotas verticales no se pueden tocar ni cruzar, ya que ellas dependen de las no definiciones de la función, y si la función no está definida en una asíntota vertical, no puede adoptar el valor de x de la asíntota vertical.

La forma de cálculo de las asíntotas horizontales ya se estudió en el capítulo de límites, en los límites hacia infinito.

Aquí se van a analizar funciones que presentan asíntotas horizontales:

1.- Grado del numerador menor al grado del denominador.

 

2.- Grado del numerador igual al grado del denominador.

 

3.- Funciones no racionales con asintotas horizontales.

Asíntotas Verticales

Una asíntota vertical es una recta vertical, a la cual se acerca la función sin tocarla nunca.

OJO: No debe confundirse la condición de que una asíntota vertical no se toca o cruza, con el hecho, de que las funciones sí pueden cruzar o tocar una asíntota horizontal.

Para que una función tenga una o varias asíntotas verticales, se tienen que cumplir las siguientes condiciones:

1.- En x = a, la función no está definida, o sea, x = a no es parte del dominio de la función. Por esto no la puede tocar.

2.- El límite cuando x tiende a "a" de la función no existe, pero tiene que haber una tendencia de la función hacia valores extremadamente grandes (infinito) ó extremadamente negativos (menos infinito). Puede darse el caso, de que acercándose por ambos lados al valor de x = a, la tendencia del valor de la función sean ambos infinitos ó ambos menos infinito.

NOTA: Una asíntota vertical puede provocar en la función un cambio de concavidad en la función de antes de la asíntota a después de la asíntota. Analícense algunas de las gráficas de las funciones a continuación. En las primeras dos gráficas hay un cambio de concavidad antes y después de la asíntota vertical.

 

 

UTILIZAS FUNCIONES FACTORIZABLES EN LA RESOLUCION DE PROBLEMAS

Ceros y raices de la funcion:   Donde una función toma el valor cero (0).

Teorema del Factor:

El teorema del factor dice que, si f(a) = 0 en la que f(x) representa un polinomio de x, entonces (x - a) es uno de los factores de f(x).

Por ejemplo, tenemos que f(x) = 2x² - 8. Ya que f(2) = 2(2) ² - 8 = 0, (x - 2) debe ser uno de sus factores. En realidad, f(x) = 2x² - 8 = 2(x + 2)(x - 2).

Teorema del Residuo:

            Si un polinomio de x, f(x), se divide entre (x-a), donde a es cualquier número real o complejo, entonces el residuo es f(a). EJEMPLO:

 

 

 Divisón Sintética:


            

La división sintética se realiza para simplificar la división de un polinomio entre otro polinomio de la forma x – c, logrando una manera mas compacta y sencilla de realizar la división.

Ilustraremos como el proceso de creación de la división sintética con un ejemplo:

Comenzamos dividiéndolo normalmente

  

          

 

 

Pero resulta mucho escribir pues repetimos muchos términos durante el procedimiento, los términos restados 2x^4, -2x^3         pueden quitarse sin crear ninguna confusión, al igual que no es necesario bajar los términos . Al eliminar estos términos repetidos el ejercicio nos queda:

 

Ahora si mantenemos las potencias iguales de x en las columnas de cada potencia y colocando 0 en las faltantes se puede eliminar el escribir las potencias de x, así:

 

Como para este tipo de división solo se realiza con para divisores de la forma x – c entonces los coeficientes de la parte derecha siempre son 1 – c, por lo que podemos descartar el coeficiente 1 y el signo negativo, también se puede lograr una forma más compacta al mover los números hacia arriba, nos queda de la siguiente forma:

 



 

 

Si ahora insertamos a la primera posición del último renglón al primer coeficiente del residuo (2), tenemos que los primeros números de este renglón son los mismos coeficientes del cociente y el último número es el residuo, como evitamos escribir dos veces eliminamos el cociente.



Esta última forma se llama división sintética, pero ¿como hacerla sin tanto paso?, ahora les presentamos los pasos para llevar a cavo la división sintética:

1.      Se ordenan los coeficientes de los términos en un orden decreciente de potencias de x hasta llegar al exponente cero rellenando con coeficientes cero donde haga falta

2.      Después escribimos “c” en la parte derecha del renglón

3.      Se baja el coeficiente de la izquierda al tercer renglón.

4.      Multiplicamos este coeficiente por “c” para obtener el primer numero del segundo renglón (en el primer espacio de la izquierda nunca se escribe nada).

5.      Simplificamos de manera vertical para obtener el segundo número de el tercer renglón.

6.      Con este último número repetimos los pasos cuatro y cinco hasta encontrar el último número del tercer renglón, que será el residuo.

EJEMPLOS:

 

Donde -108 es el residuo

 

Donde 748 es el residuo y pese a no tener muchos coheficientes vemos que en el resultado si aparecen todos los coheficientes nesesarios para todos los exponentes. Para generalizar hace falta notar que el signo que tenga el divisor no debe ser necesariamente negativo. Para el uso de este método puede ser positivo o negativo.

 

Teorema Fundamental del Álgebra:

 

El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:  Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.

Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo):

tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.

En otras palabras, todo polinomio:

Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de .

Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre i y 1 (es decir con los ) se puede factorizar todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebraicamente cerrado: no se puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica por excelencia.

Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el nombre de teorema de d'Alembert – Gauss (o en el orden inverso, o con un solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducccion , y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórfica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se factoriza la función P(x) por x-r donde r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente

 

que es un polinomio de grado menor al de P(x) Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).

Teorema de Factorizacion Lineal

Si f(x) es un polinomio de grado n, con n > 0, entonces f(x) tiene precisamente n

factoreslineales, es decir:

f(x) = a(x – c

1)(x – c

2)….(x – c

n),

en donde c

1, c

2,…..cn son números complejos y a es el coeficiente principal de f(x)

Graficas de Funciones Polinomiales Factorizables

Los ceros reales representan los puntos de interseccion de un polinomio con el eje x, a partir de ahi es posible establecer la curva de un polinomio. Una valor anterior al cero real mas perqueño, sustituyendolo en la funcion nos permite conocer si la curva es creciente o dereciente, dependiendo si la pendiente de la curva es positiva o negativa, respectivamente.






 

 

 

 

 

 

 



FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS 3 Y 4

Funciones polinomiales de grado 3:

Función polinomial de tercer grado. La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

donde a3 6= 0.

La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.



EJEMPLO:

y = x^3

 Empezamos calculando sus raíces.

·         Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.

·         _ En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.

 

·          El único número que satisface la condición anterior es x = 0.

·         Esta es la única raíz de la función.

·         Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el

conjunto de los números reales.

·         El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.

 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

·         Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x

crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

·         Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

·         La gráfica de la función está enseguida:

 



 

 

Segundo Ejemplo:

 

La función f (x) = x^3 puede factorizarse como y = x _ x _ x. Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por si mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.

y = x^3-3

Empezamos calculando sus raíces.

·          Para eso factorizamos la expresión:

y = x . (x^2 - 1) = x. (x + 1)  (x - 1)

·         De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.

·         Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea

cero.

·         Tenemos tres casos: x =-1, x = 0  ,y..  x = 1.

·         Entonces, la función corta al eje x en x = -1, x = 0 ,y…  x = 1.

·         De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.

·         Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece.

·         Esto ocurre para valores positivos como negativos

 

 

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 4:

 

Es la función de fórmula: y = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.