FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADOS 3 Y 4

Funciones polinomiales de grado 3:

Función polinomial de tercer grado. La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:

y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0

donde a3 6= 0.

La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.



EJEMPLO:

y = x^3

 Empezamos calculando sus raíces.

·         Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.

·         _ En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrar los números que al multiplicarlos por sí mismo tres veces obtengamos cero.

 

·          El único número que satisface la condición anterior es x = 0.

·         Esta es la única raíz de la función.

·         Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el

conjunto de los números reales.

·         El contradominio se calcula de la sigiuente manera:

 Observa que cuando x es positivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.

 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.

·         Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x

crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.

·         Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.

·         La gráfica de la función está enseguida:

 



 

 

Segundo Ejemplo:

 

La función f (x) = x^3 puede factorizarse como y = x _ x _ x. Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia: «el número cero multiplicado por si mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.

y = x^3-3

Empezamos calculando sus raíces.

·          Para eso factorizamos la expresión:

y = x . (x^2 - 1) = x. (x + 1)  (x - 1)

·         De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.

·         Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea

cero.

·         Tenemos tres casos: x =-1, x = 0  ,y..  x = 1.

·         Entonces, la función corta al eje x en x = -1, x = 0 ,y…  x = 1.

·         De nuevo,el dominio es el conjunto de los números reales, por cerradura.

·         Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f (x) crece.

·         Esto ocurre para valores positivos como negativos

 

 

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 4:

 

Es la función de fórmula: y = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx+ e; donde a (distinto de 0), b, c, d y e son números reales.

 

 

 

 

FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO 0,1 Y 2

MODELO GENERAL DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES:


La función polinomial se llama así porque generalmente su expresión algebraica es un polinomio; su forma general es:

f(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... +a0x0

Las funciones polinómicas son aquellas cuya expresión es un polinomio, como por ejemplo:

f(x)=3x4-5x+6 se trata de funciones continuas cuyo dominio es el conjunto de los números reales.

En la figura se pueden ver las gráficas de las funciones polinómicas de grado menor que 3.

Observa la forma según su grado:

Las de grado cero como f(x)=2, son rectas

horizontales;

Las de grado uno, como f(x)=2x+4, son rectas

oblicuas;

Las de grado dos, como f(x)=2x2+4x+3, son

parábolas cuyo eje es paralelo al de ordenadas.

 

:NOTA:

El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos

FUNCIONES DE GRADO 0:



  La formula de la funcion de grado 0 es la siguiente: F(x)= a

por ejemplo:

 𝑓 𝑥 =7. Es de grado cero, se le conoce como función constante.

 

FUNCION DE GRADO 1:

 

La formula de la funcion de grado 1 es.. F(x)=ax+b



 

^Termino Independiente. En cualquier función f(x) el corte de su gráfica con el eje OY o eje de ordenadas, es el punto [0, f(0)], por tanto su valor en cero define el corte con el eje de ordenadas. En el caso de las funciones polinómicas f(0) coincide con el coeficiente de grado cero o término independiente de la función, por tanto nada más ver la expresión ya reconocemos un punto de su gráfica, el corte en el eje de ordenadas

La grafica de f(x)=ax+3 corta en (3,0)

^Termino Pendiente. Es fácil ver que al modificar el coeficiente de x en estas funciones, lo que cambia es la inclinación de la recta, y ésta se mide con la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas, es decir, la pendiente de la recta

La pendiente de la recta f(x)=ax+b es "a"

 

He aqui un ejemplo de lo aterior:

 

 

FUNCION DE GRADO 2:La parábola f(x)=ax^2+bx+c

 

f(x)= ax^2

 La gráfica de las funciones polinómicas de segundo grado es una parábola de eje vertical. Observa en la figura cómo se construye la gráfica de f(x)=a·x2 y como cambia según los valores y el signo de a.

• Es simétrica respecto al eje OX.
• El signo de a determina la concavidad de la gráfica.

• Si a>0, tiene un mínimo en (0,0)

• Si a<0 tiene un máximo en (0,0)

 

 

 

^Representar Funciones Cuadraticas: Para representar una función de segundo grado            f(x)=ax2+bx+c comenzamos por colocar su vértice: [(2ab− , f(2ab− )]. Se dibuja el eje de simetría y a continuación hacemos una tabla de valores aumentando en una unidad el valor de x cada vez. Cuando tenemos algunos puntos dibujamos los simétricos. Al igual que en otras representaciones gráficas es interesante hallar los puntos de corte con los ejes.

• El corte con el eje 0y es c
• Los cortes con el eje 0x son las soluciones de la ecuacion ax^2+bx+c

 

 



 

   



FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES DE GRAFICAS

Función inversa:  Dada una función f(x), su inversa es otra función, designada por f^-1(x) de forma que se verifica: si f(a) = b, entonces f^-1(b) = a

Pasos a seguir para determinar la función inversa de una dada:

^_ Despejar la variable independiente x.

^_ Intercambiar la x por la y, y la y por la x.

La función así obtenida es la inversa de la función dada.

Las gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la bisectriz del 1.^er cuadrante y del 3.^er cuadrante.

 

Ejemplo: A es inversamente proporcional a B. Si A=3  cuando B=5, hallar a A cuando B=7

• 2 1/7

Función escalonada : Una función escalonada es aquella función definida a trozos  que en cualquier intervalo finito [a, b] en que esté definida tiene un número finito de discontinuidades c₁ < c₂ < ... < c_n, y en cada intervalo ]

 

 

FUNCION VALOR ABSOLUTO:

La función de valor absoluto tiene por ecuación f(x) = |x|, y siempre representa distancias; por lo tanto, siempre será positiva o nula.

En esta condición, de ser siempre positiva o nula, su gráfica no se encontrará jamás debajo del eje x. Su gráfica va a estar siempre por encima de dicho eje o, a lo sumo, tocándolo.

Las funciones en valor absoluto siempre representan una distancia o intervalos (tramos o trozos) y se pueden resolver o calcular siguiendo los siguientes pasos:

1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces (los valores de x).

2. Se forman intervalos con las raíces (los valores de x) y se evalúa el signo de cada intervalo.

3. Definimos la función a intervalos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.

4. Representamos la función resultante.

 

FUNCION IDENTIDAD:

Es la función que es igual a la variable independiente.
f(x) = x
Su representación es una línea recta a 45º del eje x

 

 



 

FUNCION CONSTANTE:

Consideremos la función más sencilla, por ejemplo . La imagen de cualquier número es siempre 2. Si

hacemos una tabla de valores tendríamos:

x -2 -1 0 1 2

y 2 2 2 2 2

Por tanto si representamos todos esos valores, y más que podríamos calcular, todos están en el 2 y la

gráfica resulta una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto 2

En general una función constante es una función cuya fórmula es , donde k es un número

real. Su representación gráfica es una línea recta que corta al eje de ordenadas en el punto k.

 

OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

• FUNCION: Es una primera aproximacion, una relacion entre 2 magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera le corresponde a un unico valor de la segunda magnitud.

Por ejemplo el área A de un círculo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio

• RELACION: Es la correspondencia de un primer conjunto, llamado dominio, con un segundo conjunto, llamado recorrido o rango, de manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o mas elementos del recorrido o rango.

• DOMINIO: Se dice que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar el conjunto del dominio y que encuentra correspondencia en el conjunto llamado codominio. El dominio es el intervalo de valores que están sobre el eje de las X y que nos generan una asociación en el eje de las Y .

• CONTRADOMINIO : Es el conjunto de todos los valores resultantes de la variable dependiente y

• IMAGEN: Son todos los puntos de la gráfica de la función a los que les corresponde un valor en Y.

• REGLA DE CORRESPONDENCIA: La regla de correspondencia es como decir y = 2x o escrito de otra manera: f(x) = 2x

lo cual significa que el valor de y depende del valor de x o que el valor de y responde a esa regla
en tonces en ese caso la regla de correspondencia seria
que a cada vlor de x le corresponde un valor de y y el valor de y deve ser igual al valor de x multiplicado por 2, asi para cada numero de x se puede ela borar una tabla
x le corresponde y
1 le corresponde 2
2 le corresponde 4
3 le corresponde 6
y así sucesivamente con todos los valores de x te sigues con el 4 y le corresponde el 8.